45 | 线性代数篇答疑和总结：矩阵乘法的几何意义是什么？

该思维导图由 AI 生成，仅供参考

本文深入探讨了矩阵乘法的几何意义，以及SVD中$X'X$的特征向量组成了$V$矩阵，而$XX'$的特征向量组成了$U$矩阵。首先，通过对二维空间中的正交向量和矩阵乘法的几何意义进行详细解释，阐述了矩阵左乘所对应的几何意义。其次，通过实例验证了矩阵左乘的几何意义，以及对矩阵的特征值和特征向量进行分析。接着，通过SVD分解中的$U$和$V$矩阵的证明，阐述了$X'X$的特征向量组成了$V$矩阵，而$XX'$的特征向量组成了$U$矩阵的过程。最后，总结了矩阵左乘矩阵的几何意义，以及SVD分解中的$U$和$V$矩阵的相关内容。 通过本文的阐述，读者可以快速了解矩阵乘法的几何意义，以及SVD中$U$和$V$矩阵的形成过程，为进一步深入学习线性代数提供了重要的基础知识。线性代数最基本的概念包括了向量、矩阵以及对应的操作。向量表示了一组数的概念，非常适合表示一个对象的多维特征，因此被广泛的运用在信息检索和机器学习的领域中。而矩阵又包含了多个向量，所以适合表示多个数据对象的集合。同时，矩阵也可以用于表达二维关系，例如网页的邻接矩阵，用户对物品的喜好程度，关键词在文档中的tf-idf等等。 由于向量和矩阵的特性，我们可以把它们运用在很多算法和模型之中。向量空间模型定义了向量之间的距离或者余弦夹角，我们可以利用这些指标来衡量数据对象之间的相似程度，并把这种相似程度用于定义查询和文档之间的相关性，或者是文档聚类时的归属关系。矩阵的运算体现了对多个向量同时进行的操作，比如最常见的左乘，就可以用在计算PageRank值，协同过滤中的用户或者物品相似度等等。 当然，矩阵的运用还不只计算数据对象之间的关系。最小二乘法的实现、PCA主成分的分析、SVD奇异值的分解也可以基于矩阵的运算。这些都可以帮助我们发现不同维度特征之间的关系，并利用这些关系找到哪些特征更为重要，选择或者创建更为重要的特征。 有的时候，线性代数涉及的公式和推导比较繁琐。在思考的过程中，我们可以把矩阵的操作简化为向量之间的操作，而把向量之间的操作简化为多个变量之间的运算。另外，我们可以多结合实际的案例，结合几何空间、动手推算，甚至可以编程实现某些关键的模块，这些都有利于理解和记忆。