程序员的数学基础课
黄申
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开篇词 (1讲)
开篇词 | 作为程序员，为什么你应该学好数学？
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导读 (1讲)
导读：程序员应该怎么学数学？
基础思想篇 (18讲)
01 | 二进制：不了解计算机的源头，你学什么编程
02 | 余数：原来取余操作本身就是个哈希函数
03 | 迭代法：不用编程语言的自带函数，你会如何计算平方根？
04 | 数学归纳法：如何用数学归纳提升代码的运行效率？
05 | 递归（上）：泛化数学归纳，如何将复杂问题简单化？
06 | 递归（下）：分而治之，从归并排序到MapReduce
07 | 排列：如何让计算机学会“田忌赛马”？
08 | 组合：如何让计算机安排世界杯的赛程？
09 | 动态规划（上）：如何实现基于编辑距离的查询推荐？
10 | 动态规划（下）：如何求得状态转移方程并进行编程实现？
11 | 树的深度优先搜索（上）：如何才能高效率地查字典？
12 | 树的深度优先搜索（下）：如何才能高效率地查字典？
13 | 树的广度优先搜索（上）：人际关系的六度理论是真的吗？
14 | 树的广度优先搜索（下）：为什么双向广度优先搜索的效率更高？
15 | 从树到图：如何让计算机学会看地图？
16 | 时间和空间复杂度（上）：优化性能是否只是“纸上谈兵”？
17 | 时间和空间复杂度（下）：如何使用六个法则进行复杂度分析？
18 | 总结课：数据结构、编程语句和基础算法体现了哪些数学思想？
概率统计篇 (14讲)
19 | 概率和统计：编程为什么需要概率和统计？
20 | 概率基础（上）：一篇文章帮你理解随机变量、概率分布和期望值
21 | 概率基础（下）：联合概率、条件概率和贝叶斯法则，这些概率公式究竟能做什么？
22 | 朴素贝叶斯：如何让计算机学会自动分类？
23 | 文本分类：如何区分特定类型的新闻？
24 | 语言模型：如何使用链式法则和马尔科夫假设简化概率模型？
25 | 马尔科夫模型：从PageRank到语音识别，背后是什么模型在支撑？
26 | 信息熵：如何通过几个问题，测出你对应的武侠人物？
27 | 决策树：信息增益、增益比率和基尼指数的运用
28 | 熵、信息增益和卡方：如何寻找关键特征？
29 | 归一化和标准化：各种特征如何综合才是最合理的？
30 | 统计意义（上）：如何通过显著性检验，判断你的A/B测试结果是不是巧合？
31 | 统计意义（下）：如何通过显著性检验，判断你的A/B测试结果是不是巧合？
32 | 概率统计篇答疑和总结：为什么会有欠拟合和过拟合？
线性代数篇 (13讲)
33 | 线性代数：线性代数到底都讲了些什么？
34 | 向量空间模型：如何让计算机理解现实事物之间的关系？
35 | 文本检索：如何让计算机处理自然语言？
36 | 文本聚类：如何过滤冗余的新闻？
37 | 矩阵（上）：如何使用矩阵操作进行PageRank计算？
38 | 矩阵（下）：如何使用矩阵操作进行协同过滤推荐？
39 | 线性回归（上）：如何使用高斯消元求解线性方程组？
40 | 线性回归（中）：如何使用最小二乘法进行直线拟合？
41 | 线性回归（下）：如何使用最小二乘法进行效果验证？
42 | PCA主成分分析（上）：如何利用协方差矩阵来降维？
43 | PCA主成分分析（下）：为什么要计算协方差矩阵的特征值和特征向量？
44 | 奇异值分解：如何挖掘潜在的语义关系？
45 | 线性代数篇答疑和总结：矩阵乘法的几何意义是什么？
综合应用篇 (6讲)
46 | 缓存系统：如何通过哈希表和队列实现高效访问？
47 | 搜索引擎（上）：如何通过倒排索引和向量空间模型，打造一个简单的搜索引擎？
48 | 搜索引擎（下）：如何通过查询的分类，让电商平台的搜索结果更相关？
49 | 推荐系统（上）：如何实现基于相似度的协同过滤？
50 | 推荐系统（下）：如何通过SVD分析用户和物品的矩阵？
51 | 综合应用篇答疑和总结：如何进行个性化用户画像的设计？
加餐 (3讲)
数学专栏课外加餐（一） | 我们为什么需要反码和补码？
数学专栏课外加餐（二） | 位操作的三个应用实例
数学专栏课外加餐（三）：程序员需要读哪些数学书？
结束语 (1讲)
结束语 | 从数学到编程，本身就是一个很长的链条
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45 | 线性代数篇答疑和总结：矩阵乘法的几何意义是什么？
黄申 2019-03-29
你好，我是黄申。今天是线性代数的答疑和总结。
在这个模块中，我们讲了不少向量、矩阵、线性方程相关的内容。看到大家在留言区的问题，今天我重点说说矩阵乘法的几何意义，以及为什么 SVD 中 的特征向量组成了 矩阵，而 的特征向量组成了 矩阵。最后，我会对整个线性代数的模块做一个总结。
矩阵乘法的几何意义
首先，我们来说说矩阵乘法所代表的几何意义。
在阐述 PCA 主成分分析的时候，我们聊过为什么这个方法要研究协方差矩阵的特征值和特征向量。其中，我提到对某个向量左乘一个矩阵，实际上是对这个向量进行了一次变换。某个矩阵的特征向量表示了这个矩阵在空间中的变换方向，这些方向都是正交或者趋于正交的，而特征值表示每个方向上伸缩的比例。今天，我会继续深入这个话题，结合实例，给出更详细地解释。
多维的向量空间很难理解，所以我们还是从最简答的二维空间开始。首先，我们需要明白什么是二维空间中的正交向量。正交向量的定义非常简单，只要两个向量的点乘结果为 0，那么它们就是正交的。在酉矩阵之中，矩阵和矩阵的转置相乘为单位矩阵，只有向量自己点乘自己值为 1，而不同向量之间点乘值为 0，所以不同的向量之间是正交的。
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精选留言(8)
胡鹏没法实践，听不懂，却在坚持，这样有益处嘛？作者回复: 你说的没法实践是指实际项目中没有运用的机会吗？可以一步步来，每次弄懂一点，也许没法直接用到实践中，但是对解决问题的思路也许是有帮助的，加油💪！
2019-03-30 3
道可打好基础：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html2019-08-08 1 2
陈小渣👻太开心啦👏，整个线代模块下来，学到了很多大学里面没联系起来的知识~黄老师的表述好清晰~作者回复: 很高兴这个专栏对你有价值！
2019-08-31 1
我是小白007工作中暂时用不到。但是拓展了思路，以前对线代的阴影也少了许多。谢谢黄老师作者回复: 很高兴对你有用
2019-10-31- Paul Shan最大的收获就是矩阵乘法的几何解释，这次学习线性代数终于把矩阵的特征值和特征向量，矢量的旋转和伸缩窜起来了。总结起来就是:
列向量左乘一个方阵，相当于把这个方阵分解成特征向量和特征值，列向量在特征向量上的每一个分量都作相应特征值的伸缩，伸缩后的分量合成一个新的列向量就是左乘矩阵的结果。
矩阵本身就可以分解成列向量的集合，左乘方阵就相当于对每个列向量作相应的几何变换。
但是这只限于方阵，请问黄老师对于一般的矩阵乘法，也有几何解释吗？作者回复: 一般的矩阵乘法也是类似的几何解释，这里只是用方阵作为例子
2019-10-11 
小伟之前学过线性代数，但是没有跟实际的应用场景结合一起，多谢黄老师的课程；
知道了线性代数可以求文档相关性和去重，了解了LSM推到过程，了解了PCA和奇异值分解的过程。
但是这些在我的工作中都没有应用到，所以，后面会更多的去应用场景，用好这些工具。作者回复: 很高兴对你有价值
2019-08-25
qinggeouye1、矩阵 X 左乘另一个向量 a，向量 a 分别沿着矩阵 X 的特征向量进行伸缩，伸缩大小为特征向量对应的特征值；
2、不太理解，Σ 为什么会是对角矩阵？矩阵 X 是 m x n 维的，U 是 m x m 维左奇异矩阵，V 是 n x n 维的右奇异矩阵，按道理 Σ 是 m x n 维奇异矩阵(对角线上是奇异值，其它元素为0) ；当 m = n 时，Σ 才是对角矩阵吧？这样的话才是 $Σ'Σ = Σ^2$ 。又或者是对 奇异值矩阵 Σ 中的奇异值做了某种取舍(降维)，U 未必是 m x m 维，V 也未必是 n x n 维？作者回复: 对角矩阵的定义是主对角线之外的元素皆为0的矩阵，所以不一定需要m=n，例如，下面这种也是对角矩阵
[[1,0,0],[0,1,0]]2019-04-03
逐风随想@胡鹏：一样，人们都说笨鸟先飞。刚开始的一腔热血。慢慢的到后面发现越来越艰难了。也越来越痛苦。这个已经超过了能力范围。有的时候智力真的是跨越不了的坎。作者回复: 加油，每次集中在一个点，逐步细化和理解，会有突破的
2019-03-31
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