程序员的数学基础课
黄申
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开篇词 (1讲)
开篇词 | 作为程序员,为什么你应该学好数学?
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导读 (1讲)
导读:程序员应该怎么学数学?
基础思想篇 (18讲)
01 | 二进制:不了解计算机的源头,你学什么编程
02 | 余数:原来取余操作本身就是个哈希函数
03 | 迭代法:不用编程语言的自带函数,你会如何计算平方根?
04 | 数学归纳法:如何用数学归纳提升代码的运行效率?
05 | 递归(上):泛化数学归纳,如何将复杂问题简单化?
06 | 递归(下):分而治之,从归并排序到MapReduce
07 | 排列:如何让计算机学会“田忌赛马”?
08 | 组合:如何让计算机安排世界杯的赛程?
09 | 动态规划(上):如何实现基于编辑距离的查询推荐?
10 | 动态规划(下):如何求得状态转移方程并进行编程实现?
11 | 树的深度优先搜索(上):如何才能高效率地查字典?
12 | 树的深度优先搜索(下):如何才能高效率地查字典?
13 | 树的广度优先搜索(上):人际关系的六度理论是真的吗?
14 | 树的广度优先搜索(下):为什么双向广度优先搜索的效率更高?
15 | 从树到图:如何让计算机学会看地图?
16 | 时间和空间复杂度(上):优化性能是否只是“纸上谈兵”?
17 | 时间和空间复杂度(下):如何使用六个法则进行复杂度分析?
18 | 总结课:数据结构、编程语句和基础算法体现了哪些数学思想?
概率统计篇 (14讲)
19 | 概率和统计:编程为什么需要概率和统计?
20 | 概率基础(上):一篇文章帮你理解随机变量、概率分布和期望值
21 | 概率基础(下):联合概率、条件概率和贝叶斯法则,这些概率公式究竟能做什么?
22 | 朴素贝叶斯:如何让计算机学会自动分类?
23 | 文本分类:如何区分特定类型的新闻?
24 | 语言模型:如何使用链式法则和马尔科夫假设简化概率模型?
25 | 马尔科夫模型:从PageRank到语音识别,背后是什么模型在支撑?
26 | 信息熵:如何通过几个问题,测出你对应的武侠人物?
27 | 决策树:信息增益、增益比率和基尼指数的运用
28 | 熵、信息增益和卡方:如何寻找关键特征?
29 | 归一化和标准化:各种特征如何综合才是最合理的?
30 | 统计意义(上):如何通过显著性检验,判断你的A/B测试结果是不是巧合?
31 | 统计意义(下):如何通过显著性检验,判断你的A/B测试结果是不是巧合?
32 | 概率统计篇答疑和总结:为什么会有欠拟合和过拟合?
线性代数篇 (13讲)
33 | 线性代数:线性代数到底都讲了些什么?
34 | 向量空间模型:如何让计算机理解现实事物之间的关系?
35 | 文本检索:如何让计算机处理自然语言?
36 | 文本聚类:如何过滤冗余的新闻?
37 | 矩阵(上):如何使用矩阵操作进行PageRank计算?
38 | 矩阵(下):如何使用矩阵操作进行协同过滤推荐?
39 | 线性回归(上):如何使用高斯消元求解线性方程组?
40 | 线性回归(中):如何使用最小二乘法进行直线拟合?
41 | 线性回归(下):如何使用最小二乘法进行效果验证?
42 | PCA主成分分析(上):如何利用协方差矩阵来降维?
43 | PCA主成分分析(下):为什么要计算协方差矩阵的特征值和特征向量?
44 | 奇异值分解:如何挖掘潜在的语义关系?
45 | 线性代数篇答疑和总结:矩阵乘法的几何意义是什么?
综合应用篇 (6讲)
46 | 缓存系统:如何通过哈希表和队列实现高效访问?
47 | 搜索引擎(上):如何通过倒排索引和向量空间模型,打造一个简单的搜索引擎?
48 | 搜索引擎(下):如何通过查询的分类,让电商平台的搜索结果更相关?
49 | 推荐系统(上):如何实现基于相似度的协同过滤?
50 | 推荐系统(下):如何通过SVD分析用户和物品的矩阵?
51 | 综合应用篇答疑和总结:如何进行个性化用户画像的设计?
加餐 (3讲)
数学专栏课外加餐(一) | 我们为什么需要反码和补码?
数学专栏课外加餐(二) | 位操作的三个应用实例
数学专栏课外加餐(三):程序员需要读哪些数学书?
结束语 (1讲)
结束语 | 从数学到编程,本身就是一个很长的链条
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21 | 概率基础(下):联合概率、条件概率和贝叶斯法则,这些概率公式究竟能做什么?

黄申 2019-02-01
你好,我是黄申。
上一节我介绍了随机现象、随机变量以及概率分布这些比较简单的概念。学习这些概念是为了做什么呢?其实就是为了更精确地描述我们生活中的现象,用数学的视角看世界,以此解决其中的问题。
但是实际生活中的现象并非都会像“投硬币”那样简单。有很多影响因素都会影响我们去描述这些现象。比如,看似很简单的“投硬币”,我们其实只是考虑最主要的情况,粗暴地把硬币出现的情况一分为二。比如说,不同类型的硬币是否会影响正反面的概率分布呢?站立的情况如何考虑呢?再比如说,在汽车速度的例子中,经过的交通路线,不同的路线是否会影响速度的概率分布呢?
一旦影响因素变多了,我们需要考虑的问题就多了。想要解决刚才那几个问题,更精确地描述这些现象,我们就需要理解几个新的概念,联合概率、条件概率以及贝叶斯法则。从数学的角度来说,这些概念能描述现实世界中更为复杂的现象,建立更精细的数学模型。比如,我们后面要讲的朴素贝叶斯算法就是建立在联合概率、条件概率和边缘概率之上的。所以,这一节的内容也非常重要,你一定要认真学习并且掌握。

联合概率、条件概率和边缘概率

最近,我一直在操心儿子的教育问题,所以一直在研究他班级的成绩单。为了弄清我儿子在班级上的成绩排名,我向老师要了张全班成绩的分布表。
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精选留言(24)

  • Joe
    新年好,简单公式推导如下,虽然可以直接看出来。
    设事件x:抽中100元红包;
    事件y:抽到爷爷的红包。
    则100元的红包来自爷爷的概率:P(y|x) = P (x,y) / P(x) = (6/22) / (10/22) = 0.6
    100元红包来自奶奶的概率为:0.4

    作者回复: 是的

    2019-02-01
    10
  • qinggeouye
    随机变量 X 的取值:爷爷、奶奶,随机变量 Y 的取值:50 、100。
    问题:求解 P(X=爷爷|Y=100) 、P(X=奶奶|Y=100) 。

    由统计数据可知:
    P(Y=100) = (6 + 4) / (4 + 6 + 8 + 4) = 5/11
    P(X=爷爷, Y=100) = 6 / (4 + 6 + 8 + 4) = 3/11
    P(X=奶奶, Y=100) = 4 / (4 + 6 + 8 + 4) = 2/11

    则:
    P(X=爷爷|Y=100) = P(X=爷爷, Y=100) / P(Y=100) = 3/5
    P(X=奶奶|Y=100) = P(X=奶奶, Y=100) / P(Y=100) = 2/5

    作者回复: 写得很清楚

    2019-03-03
    9
  • 动摇的小指南针
    我理解贝叶斯的应用场景,就是充分利用统计和先验,转化为预测

    作者回复: 是的👍

    2019-04-18
    4
  • strentchRise
    P(爷爷|100) * P(100) = P(100|爷爷) * P(爷爷)
    P(爷爷|100) = P(100|爷爷) * P(爷爷) / P(100)
    P(爷爷|100) = (6/10) * (10/22) / (10/22)
    P(爷爷|100) = 6/10 = 0.6
    P(奶奶|100) = 1 - P(奶奶|100) = 1 - 0.6 = 0.4


    作者回复: 正解👍

    2019-02-02
    2
  • Geek_cd2df5

    条件P(男生 | 90-100) 和 边缘P(90-100) 算出联合P(男生,90-100)能明白,算出边缘P(男生)是怎么算的呢?

    作者回复: 可以直接根据班级男生人数和总人数算出

    2019-07-06
    1
    1
  • zzz
    “P(男生 | 90-100) 和 P(90-100) 算出边缘概率P(男生)”,请问这具体是怎么算的?

    作者回复: 这里是个笔误,仅仅根据这两个确实算不出来

    2019-04-21
    1
  • 杜克
    也可以使用 P(男生 | 90-100) 和 P(90-100) 算出边缘概率 P(男生)。老师,请问这一句怎么理解,P(男生 | 90-100) 和 P(90-100) 这两个可以推导出P(男生,90-100),P(男生)我理解要通过各个分数段的求和得到,但是感觉现在只知道一个分数段的,请问这个是我理解错误了么

    作者回复: 这里是个笔误,仅仅根据这两个确实算不出来

    2019-04-21
    1
  • 永旭
    老师, 你好.
    P(男生 | 90-100) 和 P(90-100 | 男生) 有什么区别 ? 怎么理解呢 ?

    作者回复: P(男生|90-100)是表示90-100分里有多少个男生,比如全班90-100分有10个人,其中男生4人,那么这个概率就是40%

    而P(90-100|男生)是表示男生里有多少个人是90-100分,比如全班男生有40个人,其中90-100的4人,那么这个概率就是10%

    2019-02-14
    1
  • 安迪
    这个100的红包来自爷爷的的概率是3/5,来自奶奶的概率是2/5。

    作者回复: 是的,可以用贝叶斯定理推导一下

    2019-02-01
    1
  • 无法言喻.
    0.6,0.4吧,直接看出来的,不知道对不。公式还不习惯,需要好好消化一下。

    作者回复: 结果是对的,可以用贝叶斯定理推导一下

    2019-02-01
    1
  • 美美
    总红包数22;
    100 红包数:6个爷爷,4个奶奶;
    p(x)= 抽到 100块红包= 10/22;
    P(y)= 抽到奶奶的红包 = 12/22;
    p(y|x)= ( P(x|y) * p(y) )/ p(x) = (4/12) * (12/22) / (10/22) = (6/33) / (15/33)= 2/5
    2019-11-08
  • Ronnyz
    A(爷爷):4(50),6(100)
    B(奶奶):8(50),4(100)
    P(100|A)=P(100,A)/p(A)=(6/22)/(10/22)=0.6
    P(100|B)=0.4

    作者回复: 是的

    2019-10-08
  • Conan
    在统计学中,我们也把 P(y | x) 写作似然函数 L(x | y)。应该是L(y | x)吧

    作者回复: 对,是个笔误

    2019-09-04
  • 小伟
    对概率有个很大的疑惑,40%和50%,区别有多大?老师可以帮助解答下吗?

    作者回复: 这是个好问题,很多时候人类只对极端值更有清晰的感知,比如10%和90%。但是对于中间值,例如40%和50%到底有多大区别?可能很难从直观上体会到,这里的数值的差别更多的是让计算机进行决策

    2019-08-31
  • Paul Shan
    总结
    联合分布,是同时满足两个条件下的元素占所有元素的比例。
    条件分布,是同时满足两个条件下的元素占满足其中一个条件的元素的比例。
    边缘分布,是满足一个条件的元素占所有元素的比例。
    贝叶斯定理,通过一个条件分布和相应的边缘分布算出联合分布,再结合另外一个边缘分布算出另外一个条件分布,是一个从条件分布到条件分布的过程。
    2019-08-30
  • Paul Shan
    思考题
    100 的红包里,爷爷贡献了六个,奶奶贡献了四个,所以出自爷爷的是60%。
    2019-08-30
  • Mr_杨
    独立性是不是不够严谨,不能只通过相等就判断是独立事件,应该是看同条件下不同结果对事件的概率影响,没有影响就是独立的,比如P(y|x)=P(y|-x),我这个理解对吗?

    作者回复: 是的,相等只是必要但不充分条件

    2019-07-22
  • 钠镁铝硅磷😒
    高中和大学的学的概率终于派上用场了
    2019-07-09
  • 史明春Larry
    做了简化处理,认为各个事件是独立的

    作者回复: 是的👌

    2019-04-16
  • 摩西
    老师你好,为什么p(x,y)=p(y,x)

    作者回复: 你可以看下联合概率的定义,它是x和y同时出现的概率,而x和y同时出现的次数是一样的,也就是说计算概率时的分子是一样的,而分母都是总的次数。

    2019-04-01
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