深入浅出计算机组成原理
徐文浩
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入门篇 (5讲)
开篇词 | 为什么你需要学习计算机组成原理?
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01 | 冯·诺依曼体系结构:计算机组成的金字塔
02 | 给你一张知识地图,计算机组成原理应该这么学
03 | 通过你的CPU主频,我们来谈谈“性能”究竟是什么?
04 | 穿越功耗墙,我们该从哪些方面提升“性能”?
原理篇:指令和运算 (12讲)
05 | 计算机指令:让我们试试用纸带编程
06 | 指令跳转:原来if...else就是goto
07 | 函数调用:为什么会发生stack overflow?
08 | ELF和静态链接:为什么程序无法同时在Linux和Windows下运行?
09 | 程序装载:“640K内存”真的不够用么?
10 | 动态链接:程序内部的“共享单车”
11 | 二进制编码:“手持两把锟斤拷,口中疾呼烫烫烫”?
12 | 理解电路:从电报机到门电路,我们如何做到“千里传信”?
13 | 加法器:如何像搭乐高一样搭电路(上)?
14 | 乘法器:如何像搭乐高一样搭电路(下)?
15 | 浮点数和定点数(上):怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息?
16 | 浮点数和定点数(下):深入理解浮点数到底有什么用?
原理篇:处理器 (18讲)
17 | 建立数据通路(上):指令+运算=CPU
18 | 建立数据通路(中):指令+运算=CPU
19 | 建立数据通路(下):指令+运算=CPU
20 | 面向流水线的指令设计(上):一心多用的现代CPU
21 | 面向流水线的指令设计(下):奔腾4是怎么失败的?
22 | 冒险和预测(一):hazard是“危”也是“机”
23 | 冒险和预测(二):流水线里的接力赛
24 | 冒险和预测(三):CPU里的“线程池”
25 | 冒险和预测(四):今天下雨了,明天还会下雨么?
26 | Superscalar和VLIW:如何让CPU的吞吐率超过1?
27 | SIMD:如何加速矩阵乘法?
28 | 异常和中断:程序出错了怎么办?
29 | CISC和RISC:为什么手机芯片都是ARM?
30 | GPU(上):为什么玩游戏需要使用GPU?
31 | GPU(下):为什么深度学习需要使用GPU?
32 | FPGA和ASIC:计算机体系结构的黄金时代
33 | 解读TPU:设计和拆解一块ASIC芯片
34 | 理解虚拟机:你在云上拿到的计算机是什么样的?
原理篇:存储与I/O系统 (17讲)
35 | 存储器层次结构全景:数据存储的大金字塔长什么样?
36 | 局部性原理:数据库性能跟不上,加个缓存就好了?
37 | 高速缓存(上):“4毫秒”究竟值多少钱?
38 | 高速缓存(下):你确定你的数据更新了么?
39 | MESI协议:如何让多核CPU的高速缓存保持一致?
40 | 理解内存(上):虚拟内存和内存保护是什么?
41 | 理解内存(下):解析TLB和内存保护
42 | 总线:计算机内部的高速公路
43 | 输入输出设备:我们并不是只能用灯泡显示“0”和“1”
44 | 理解IO_WAIT:I/O性能到底是怎么回事儿?
45 | 机械硬盘:Google早期用过的“黑科技”
46 | SSD硬盘(上):如何完成性能优化的KPI?
47 | SSD硬盘(下):如何完成性能优化的KPI?
48 | DMA:为什么Kafka这么快?
49 | 数据完整性(上):硬件坏了怎么办?
50 | 数据完整性(下):如何还原犯罪现场?
51 | 分布式计算:如果所有人的大脑都联网会怎样?
应用篇 (5讲)
52 | 设计大型DMP系统(上):MongoDB并不是什么灵丹妙药
53 | 设计大型DMP系统(下):SSD拯救了所有的DBA
54 | 理解Disruptor(上):带你体会CPU高速缓存的风驰电掣
55 | 理解Disruptor(下):不需要换挡和踩刹车的CPU,有多快?
结束语 | 知也无涯,愿你也享受发现的乐趣
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答疑与加餐 (5讲)
特别加餐 | 我在2019年F8大会的两日见闻录
FAQ第一期 | 学与不学,知识就在那里,不如就先学好了
用户故事 | 赵文海:怕什么真理无穷,进一寸有一寸的欢喜
FAQ第二期 | 世界上第一个编程语言是怎么来的?
特别加餐 | 我的一天怎么过?
深入浅出计算机组成原理
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15 | 浮点数和定点数(上):怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息?

徐文浩 2019-05-29
在我们日常的程序开发中,不只会用到整数。更多情况下,我们用到的都是实数。比如,我们开发一个电商 App,商品的价格常常会是 9 块 9;再比如,现在流行的深度学习算法,对应的机器学习里的模型里的各个权重也都是 1.23 这样的数。可以说,在实际的应用过程中,这些有零有整的实数,是和整数同样常用的数据类型,我们也需要考虑到。

浮点数的不精确性

那么,我们能不能用二进制表示所有的实数,然后在二进制下计算它的加减乘除呢?先不着急,我们从一个有意思的小案例来看。
你可以在 Linux 下打开 Python 的命令行 Console,也可以在 Chrome 浏览器里面通过开发者工具,打开浏览器里的 Console,在里面输入“0.3 + 0.6”,然后看看你会得到一个什么样的结果。
>>> 0.3 + 0.6
0.8999999999999999
不知道你有没有大吃一惊,这么简单的一个加法,无论是在 Python 还是在 JavaScript 里面,算出来的结果居然不是准确的 0.9,而是 0.8999999999999999 这么个结果。这是为什么呢?
在回答为什么之前,我们先来想一个更抽象的问题。通过前面的这么多讲,你应该知道我们现在用的计算机通常用 16/32 个比特(bit)来表示一个数。那我问你,我们用 32 个比特,能够表示所有实数吗?
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精选留言(34)

  • 小崔
    对于0.5,按照老师的说法,可以用s = 0、e = -1、f = 0来表示。
    但是对照表格,似乎s = 0、e = 0、f = 5也可以表示?请解惑

    作者回复: s = 0, e = 0 的时候,无论 f 是多少,都是表示浮点数 0
    f = 5,底数是1.5 而不是 0.5

    2019-05-29
    4
    17
  • lzhao
    在这样的浮点数表示下,不考虑符号的话,浮点数能够表示的最小的数和最大的数,差不多是 1.17×10−381.17×10−38 和 3.40×10383.40×1038。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了


    这个范围怎么得来的

    作者回复: 最大的数,会是小数位全部为1,指数位二进制表示成127

    表示成二进制就是 1.11111... ^(2^127)
    差不多就是1.9999999 ^(2^127)
    差不多正好是 3.4028235 x (10 ^ 38)

    最小的数就是 1.000..... ^ (2^-126)
    差不多就是 1.0000 ^ (2^-126)
    差不多正好就是 1.17549435 x (10^-38)

    2019-05-29
    10
  • 陆离
    如果觉得没有理解老师讲的可以参考阮一峰的一篇文章
    http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html

    作者回复: 👍

    其实这一讲还有下篇,具体s, e, f怎么计算大家可以看一下周五的下篇,以及里面给的交互演示网页。

    2019-05-29
    6
  • 龙猫
    0.3无法被精确表达:
    1、首先想到会使用这种情况:s=0,e=0,f=11
    但却触发了这个特殊规则:当s和e都为0,f不为0时,表达的是0.f
    但是,0.f的时候,无论f怎么取值,都无法精确表达0.3。因为0.3的精确二进制表达式1.1
    2019-05-30
    1
    4
  • Geek
    7个比特的话,99的二进制是1100011,32位里有四个7,那就是99999999,还剩4个比特,正好用来表示一个9,所以最大应该是9999999.99,如果表示负数,第一位是符号位,所以之前剩余的四位,最大是(正)0111和(负)1111,也即是±7,所以结果是-7999999.99-7999999.99
    2019-05-29
    1
    3
  • 古夜
    对于那个公式,底数怎么表示?32位都给了符号位,指数位,小数位,底数怎么办?

    作者回复: 底数就是 1.小数位,也就是1.f。因为是二进制,所以底数的“整数”部分可以认为必然是1啊,不存在其他情况

    2019-05-29
    3
  • 愤怒的虾干
    老师,我在java里验证了下,譬如1.9999999f,小数点后的位数,即“9999999”七个9是没办法用8个bit位表示的,我猜测会失去精度变成2.0f,但是调用Float.toHexString发现是0x1.fffffep0,fffffe怎么看都不可能是9999999。于是我换了个数1.5f,16进制浮点数表示为0x1.8p0,可以看到小数点后是8,16进制的一半。这样看的话,上面的小数部分十进制显示是:fffffe/2^23 = 0.9999999,加上小数点前的1就是1.9999999了。
    根据这个思路可以推算出规则浮点数最小1.0*2^(-126),最大(1 + (2^23 - 1)/2^23)*2^(127)

    作者回复: 愤怒的虾干同学你好,

    toHexString表示的是把10进制转换成16进制表示。

    0.9999999的小数部分转换成16进制,采用的是 乘以2 然后如果大于1去减1这样的操作过程。你试一下就知道就会是1111111...因为一共有23位长,所以最后有一位可能是0,所以就是 fffffe,就是表示0.999999

    以1.5f为例,小数部分是0.5
    乘以2就是1.0,减1就是0
    那么0.5表示成2进制就是 0.1000000
    4位表示1个16进制数第一位就是8,后面都是0会截断显示。

    你可以照着接下来第16讲的转换过程试一下,看看小数部分会变成什么样子。

    然后把二进制转换成16进制,就能知道为什么了。

    2019-05-29
    2
  • 任雪龙
    老师,感觉今天这个讲的太粗糙了,很多东西都是用结果解释结果,比如对 0.5 这个数 s 、e、f 的值,值是从哪里推导得来的都没有解释,希望可以详细解释下

    作者回复: 任雪龙同学你好,

    这个在第16讲里面会讲解一下计算过程,因为一讲的篇幅有限,所以没有放在15讲里面讲完。

    2019-05-29
    2
  • humor
    如果7位表示0-99的话,32位的取值范围是0-9999999.99。如果需要负数,第一位表示符号位,取值范围是-7999999.99-7999999.99

    作者回复: 👍

    2019-05-29
    2
  • DreamItPossible
    课后思考题解答:
    如果使用7个比特表示连续两位的十进制数,则32个比特位可以划分为1个4比特位后跟着连续的4个7比特位的十进制数,且将最后一个7比特位作为小数部分,注意开头的4比特位可以表示的最大十进制数为9,那么这种表示方法可以表示的最大数为9999999.99;
    如果要表示负数,则只需让开头的4比特位中的最高位表示符号位即可,即开头的4比特位可以表示的十进制数范围是-8到7,即整个32比特位可以表示的数值范围是-8999999.99到7999999.99;
    2019-08-15
    1
  • 一步
    如果指数位 e 位最大值 255 那么有效位 f 必须为 0,否则就不是一个数 NaN, 这是规定吗?还是有一定的依据的?
    2019-06-04
    1
  • 范宁
    老师可以讲一下计算机怎么识别规格化浮点数和非规格化浮点数吗
    2019-05-29
    1
  • Only now
    IEEE754?

    作者回复: 对,整个是浮点数的标准
    https://zh.wikipedia.org/zh-hans/IEEE_754

    2019-05-29
    1
  • 鱼向北游
    老师可以扩展讲一下 移码 毕竟阶码部分并不是我们常见的原码或者补码 也不是移码的常见表示 还有非规格化表示法的由来

    作者回复: 这个想法不错,我看是否搞一章加餐

    2019-05-29
    1
  • loser
    老师,为什么公式定义是 s x 1.f x 2e ,不是s x 2ex 1.f (这种方式更容易对应位数 :符号位,指数位,有效位数)。
    2019-12-09
  • 梦倚栏杆
    看了程序是怎么跑起来里的浮点数表示有两个疑问:
    1.为什么对补码取反再加+1就找到了对应的人可以看懂的数值,这是和现实中相反数的相反数等于本身是一个道理吗?
    2.整数的正负数既然是用补码表示的,为什么浮点数的指数部分不能用补码表示呢?我没太理解节省一个符号位的意义是什么
    2019-11-12
  • 曙光
    突然发现,s f e不知道如何表示浮点数1了
    2019-10-11
  • 天王
    浮点数和定点数 小数用二进制怎么表示,1 定点数的表示,32个比特,右8位表示小秋,左24位表示整数,定点数的缺点是表示的数据有限。2 浮点数的表示 32位的二进制,第一位作为符号位,后8位作为指数位,剩下的23的有效数位。公式 (-1)*1.f*2e,0.3,0.6,0.9用浮点数不能被精确的表示
    2019-10-10
  • 林峰峰
    突然发现今天才知道什么是浮点数...

    作者回复: 👍加油,又学会一点新知识呀

    2019-09-20
  • 活的潇洒
    “为什么我们用0.3 + 0.6不能得到0.9呢?这是因为,浮点数没有办法精确表示0.3、0.6和0.9”
    day15 笔记:https://www.cnblogs.com/luoahong/p/10942468.html
    2019-08-21
    1
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