春节7天练 | Day 3：排序和二分查找

虽然现在有很多排序算法自己不会亲自写，但是作为算法的基础，分治，归并，冒泡等排序算法在时间复杂度，空间复杂度以及原地排序这些算法知识上的理解非常有帮助。递归分治这些算法思想在简单的算法中也能体现出来，其实更多的是思维方式的训练。

/** * O(n)时间复杂度内求无序数组中第K大元素 */ public class TopK { public int findTopK(int[] arr, int k) { return findTopK(arr, 0, arr.length - 1, k); } private int findTopK(int[] arr, int left, int right, int k) { if (arr.length < k) { return -1; } int pivot = partition(arr, left, right); if (pivot + 1 < k) { findTopK(arr, pivot + 1, right, k); } else if (pivot + 1 > k) { findTopK(arr, left, pivot - 1, k); } return arr[pivot]; } private int partition(int[] array, int left, int right) { int pivotValue = array[right]; int i = left; //小于分区点放在左边 大于分区点放在右边 for (int j = left; j < right; j++) { if (array[j] < pivotValue) { int tmp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = tmp; i++; } } //与分区点交换 int tmp = array[i]; array[i] = array[right]; array[right] = tmp; return i; } }

Use Binary Search class Solution { public int mySqrt(int x) { if (x == 0 || x == 1) { return x; } int start = 0; int end = (x >> 1) + 1; while (start + 1 < end) { final int mid = start + ((end - start) >> 1); final int quotient = x / mid; if (quotient == mid) { return mid; } else if (quotient < mid) { end = mid; } else { start = mid; } } return start; } }

使用了二分法和牛顿法来解决平方根的求解问题。 二分法： class Solution: def mySqrt(self, x): """ :type x: int :rtype: int """ if x == 1: return 1 def binarysearch(l, r, x): while(l<=r): mid = l + ((r-l)>>1) if abs(mid*mid-x)<1: return mid elif mid*mid > x: r = mid - 1 else: l = mid + 1 return r return binarysearch(0, x//2, x) 牛顿法： class Solution: def mySqrt(self, x): """ :type x: int :rtype: int """ if x == 1: return 1 ans = x//2 while(ans * ans - x>0): # 可以是其他精度 ans = (x // ans + ans) // 2 return ans

各种排序算法真要说起来实际中使用的最多的也就是快排了。然而各种编程语言内置的标准库都包含排序算法的实现，基本没有自己动手实现的必要。然后作为经典的算法，自己实现一遍，分析分析时间空间复杂度对自己的算法设计大有裨益。需要注意的是为了高效，在实际的实现中，多种排序算法往往是组合使用的。例如c标准库中总体上是快排，但当数据量小于一定程度，会转而使用选择或插入排序。 求平方根使用牛顿法二分逼近😄

基本排序算法的关注点分为： 1. 时间复杂度。如n的平方（冒泡，选择，插入）；插入排序的优化希尔排序，则把复杂度降低到n的3/2次方；n乘以logn(快排，归并排序，堆排序）。 2. 是否为原地排序。如，归并排序需要额外的辅助空间。 3. 算法的稳定性。稳定排序（by nature）如冒泡，插入，归并。如果把次序考虑在内，可以把其他的排序（如快排，堆排序）也实现为稳定排序。 4. 算法的实现。同为时间复杂度同为n平方的算法中，插入排序的效率更高。但是如果算法实现的不好，可能会降低算法的效率，甚至让稳定的算法变得不稳定。又如，快速排序有不同的实现方式，如三路快排可以更好的应对待排序数组中有大量重复元素的情况。堆排序可以通过自上而下的递归方式实现，也可以通过自下而上的方式实现。 5. 不同算法的特点，如对于近乎有序的数组进行排序，首选插入排序，时间复杂度近乎是n，而快速排序则退化为n平方。 二分查找，需要注意 (l+r)/2可能存在越界问题。 leetcode题，用二分查找找到x*x > n 且(x-1)的平方小于n的数，则n-1就是结果。或者 x的平方小于n且x+1的平方大于n,则返回x。

牛顿法或者二分逼近都可以解决平方根问题，leetcode上有些大神的思路真的很厉害，经常醍醐灌顶

#O(n)时间复杂度时间复杂度内找到一组数据的第 n大元素 import random import time def Array(n): a = [] for i in range(n): a.append(random.randint(0 , n)) return a def QuickSort(n): array = Array(100) if n > len(array) or n < 1: print("超出范围，找不到") return n = n-1 a = qsort(0 , len(array)-1 , array , n) print(sorted(array)) print("-----------------------------") print(a) def qsort(start , end , array , n): if start == end: res = array[start] if start < end: key = partation(array , start , end) print(start , key , end) if key > n : res = qsort(start , key-1 , array , n) elif key < n: res = qsort(key+1 , end , array , n) else: res = array[key] return res def swap(array , start , end): temp = array[start] array[start] = array[end] array[end] = temp def partation(array , start , end): temp = array[start] while start < end : while start<end and array[end]<=temp: end-=1 swap(array , start , end) while start<end and array[start]>=temp: start+=1 swap(array , start , end) return start

实现模糊二分查找算法2: public class BinarySearch { // 3. 查找第一个大于等于给定值的元素 public static int bsFistGE(int[] array, int target) { int lo = 0; int hi = array.length - 1; while (lo <= hi) { int mid = lo + ((hi - lo) >> 1); if (array[mid] >= target) { if (mid == 0 || array[mid-1] < target) { return mid; } else { hi = mid - 1; } } else { lo = mid + 1; } } return -1; } // 4. 查找最后一个小于等于给定值的元素 public static int bsLastLE(int[] array, int target) { int lo = 0; int hi = array.length - 1; while (lo <= hi) { int mid = lo + ((hi - lo) >> 1); if (array[mid] <= target) { if (mid == hi || array[mid+1] > target) { return mid; } else { lo = mid + 1; } } else { hi = mid - 1; } } return -1; } }

#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; double a = 1e-6; double sqrt(double n){ double low = 0.0; double high = n; int i = 1000; while(i--){ double mid = low + (high - low) / 2.0; //cout<<"n:"<<n<<endl; double square = mid * mid; //cout<<"sq:"<<square<<endl; //cout<<"s:"<<abs(square - n)<<endl; if(abs(mid * mid - n) < a){ return mid; } else{ if(square > n){ high = mid; } else{ low = mid; } } } return -2.0; } int main(){ double t; while(true){ cin>>t; cout<<sqrt(t)<<endl; } }