04 | 复杂度分析（下）：浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

精选留言(702)

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  Alvin

  老师讲的很好，练习题最好是O(1)，最差是O(n), 均摊是O(1)。
  
  看到好多人纠结于清空数组的问题: 对于可反复读写的存储空间，使用者认为它是空的它就是空的。如果你定义清空是全部重写为0或者某个值，那也可以！但是老师举的例子完全没必要啊！写某个值和写任意值在这里有区别吗，使用值只关心要存的新值！所以老师的例子，清空把下标指到第一个位置就可以了！

  作者回复: 嗯嗯 是的 多谢你。同学们帮把这一条顶上去吧 可以让其他同学都看看

  2018-09-28

   8

   1365
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  阿杜S考特

  当i < len时, 即 i = 0,1,2,...,n-1的时候，for循环不走，所以这n次的时间复杂度都是O(1);
  当i >= len时, 即 i = n的时候，for循环进行数组的copy，所以只有这1次的时间复杂度是O(n);
  由此可知:
  该算法的最好情况时间复杂度(best case time complexity)为O(1);
  最坏情况时间复杂度(worst case time complexity)为O(n);
  平均情况时间复杂度(average case time complexity),
  第一种计算方式: (1+1+...+1+n)/(n+1) = 2n/(n+1) 【注: 式子中1+1+...+1中有n个1】,所以平均复杂度为O(1);
  第二种计算方式(加权平均法，又称期望): 1*(1/n+1)+1*(1/n+1)+...+1*(1/n+1)+n*(1/(n+1))=1，所以加权平均时间复杂度为O(1);
  第三种计算方式(均摊时间复杂度): 前n个操作复杂度都是O(1)，第n+1次操作的复杂度是O(n)，所以把最后一次的复杂度分摊到前n次上，那么均摊下来每次操作的复杂度为O(1)

  2018-09-28

   4

   390
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  姜威

  总结
  
  一、复杂度分析的4个概念
  1.最坏情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。
  2.最好情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。
  3.平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。
  4.均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。
  
  二、为什么要引入这4个概念？
  1.同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，所以引入这4个概念。
  2.代码复杂度在不同情况下出现量级差别时才需要区别这四种复杂度。大多数情况下，是不需要区别分析它们的。
  
  三、如何分析平均、均摊时间复杂度？
  1.平均时间复杂度
  代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。
  2.均摊时间复杂度
  两个条件满足时使用：1）代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度；2）低级别和高级别复杂度出现具有时序规律。均摊结果一般都等于低级别复杂度。

  2018-09-28

   4

   249
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  小白一只

  最好是O(1),最坏是O(n),平均平摊是O(1).
  
  
  不要纠结add和insert在哪儿被调用了。。。代码都写出来反而不好看。
  
  个人体会: 平均和平摊基本就是一个概念，平摊是特殊的平均。在分析时间复杂度是O(1)还是O(n)的时候最简单就是凭感觉，，，，，，，，出现O(1)的次数远大于出现O(n)出现的次数，那么平均平摊时间复杂度就是O(1)。。。。

  作者回复: 留言看似很平淡 但透漏着高手的气息。说的没错。高手就是凭感觉👍

  2018-09-29

   4

   245
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  jon

  看了大家的留言总结的很好，自己把练习题的答案整理了一下与大家分享：
  1. 最好情况时间复杂度为 O(1)
  2.最坏情况分析：
  最坏情况代码执行的次数跟每次数组的长度有关
  第1次调用insert的执行的次数为 n ,
  第2次调用insert的执行的次数为 2n ,
  第3次调用insert的执行的次数为 2^2 * n
  第k次调用insert的执行的次数为 2^(k-1) * n
  最坏时间复杂度为 O(n)。
  3. 平均情况分析
  当每次遇到最坏情况时数组会进行2倍扩容，原数组被导入新数组，虽然数组的长度变大了，但是插入操作落在的区间的长度是一样的，分别是0~len-1, len~(2len-1),....；
  插入的情况仍是len+1种：0~len-1和插满之后的O(len)；所以每次插入的概率是：p= 1/len+1，
  最后求出加权平均时间复杂度为 1*p + 2*p+ ▪▪▪ + len*p + len * p = O(1) ;
  4. 均摊时间复杂度 O(1)
  而均摊复杂度由于每次O(len)的出现都跟着len次O(1)，是前后连贯的，因而将O(len)平摊到前len次上，得出平摊复杂度是O(1)

  作者回复: 👍

  2018-10-01

   7

   80
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  蝴蝶

  insert方法中有清空数组吗？抱歉，能指出哪行吗？真不明白😂

  作者回复: count=1；count被重置为1。之后再插入的数据就会覆盖掉原来的数据。就相当于将原数组清空了。并不需要显示的去清空

  2018-09-28

   1

   72
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  Stalary

  递归的时间复杂度怎么算呀

  作者回复: 这个话题有点大 要具体看了 重点应该分析递归调用的次数吧。然后再看每次调用的耗时。综合考虑

  2018-09-28

   1

   66
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  赤身马可

  报告老师，我好像走错了教室。
  
  我是一个文科转行过来的菜鸟，刚刚学完Python，基本搞懂了“遍历”、“循环”、“判断”等概念。
  
  您开篇讲的课，我都基本都能明白，也提起了兴趣和信心，准备好好跟您学习。但这两次课听完，我又晕菜了。
  
  想请问一下，如果听不太懂(也可以去掉“太”)，需要补哪些课？您能告诉我进入您课程的坡道和垫脚石么？有没有稍低一点年级的资料，让我可以补补课呢？
  
  还请抽时间回答，谢谢。

  作者回复: 嗯嗯，同学你好.
  
   你说了刚学完python，可能代码还没写熟练，所以我建议把python书上的所有实例代码都自己敲一遍，默写一遍。学编程，光看不写肯定是不行的。
  
  等你python代码写熟练了，你可以再开始学我这个专栏。 因为你没有数据结构和算法的基础，所以我建议，配合着《大话数据结构》《算法图解》两本书一块来学习。
  
  学习这个专栏的过程中，你可以把我讲到的数据结构和算法都用python代码实现一遍，如果实现不了，可以参照我放在Github上的代码，自己看懂之后，默写一遍。这个步骤非常锻炼你的编程能力，不要忽视！
  
  在学习专栏的过程中，不要一觉得看不懂就放弃，师傅领进门，修行靠个人。这里没有葵花宝典一样的捷径。学习还要靠自己。看不懂？那就自己多百度一下，看不懂也可以问问你同学、同事、学长，用一个星期来看一篇文章，狠下心来，别怕麻烦，不会学不会的。
  
  还有很多时候看不懂，你就硬着头皮看，都看完一遍，就会有感觉。之后再等有空了，再来看一遍，慢慢的都懂了。这门课很难，对于初学者来说，应该是计算机里最难的之一了，所以不要期望轻松就学会，这是不现实的。
  

  2018-09-29

   1

   65
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  Kealina.

  调皮一下，还请老师来衡量下这例子恰当不。
  
  举个栗子🌰：
  今天你准备去老王家拜访下，可惜老王的爱人叫他去打个酱油，她告诉你说她限时n分钟🕒给他去买。那么你想着以他家到楼下小卖部来回最多一分钟，那么 “最好的情况”就是你只用等他一分钟。那么也有可能遇到突发情况，比如说电梯人多吖，路上摔了一胶，天知道他去干了什么，用了n分钟，没办法👐，主上有令，n分钟限时，那这就是“最坏的情况”。难点，平均时间复杂度 就是他有可能是第1.2.3...n，中的某个分钟回来，那平均就是1+2+3+...n/n，把 所有可能出现的情况的时间复杂度 相加除以 情况数 。均摊的话就是把花时间多的分给花时间少的，得到一个中间值，所以说这就会和平均混淆，个人觉得主要还是概念不同。假如n是10分钟，那么9分钟分4分钟到1分钟那，8分3给2...，那均摊下来就是5分钟.编不下去了🤦🏼‍♀️

  作者回复: 哈哈，写的太好了。留言区卧虎藏龙啊~

  2018-10-04

   1

   53
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  Silence

  老师，加权平均值那个公式是怎么来的，每个的概率都是 1/2n，平均的不应该也是 1/2n 吗？为什么后面成了 2*（1/2n）+3*（1/2n）+.....n*（1/2n）+n*（1/2）

  2018-09-28

   4

   39
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  天天向上

  高中的数学已经忘光了，又回去补了下， 现在将推导的结果分享给大家
  1、1+2+3+....+n+n 首先知道这是一个等差数列，等差数列的定义：每一项与前一个项的差都等于一个常数，这就是等差数列
  2、计算等差数列的求和公式： n(1+n)/2 ，这是一个已经推导出来的公式，至于怎么推导出来的，自行去学习吧
  好了， 现在开始推导：
  1、主要就是推导分子，1+2+3+...+n+n = n(1+n)/2 + n = n(1+n)+2n /2 = n+n²+2n/2 = n² + 3n /2 = n(n+3)/2
  2、将 n(n+3)/2 代入式子中，就成了 n(n+3)/2 / n+1 = n(n+3) /2(n+1)
  
  好了，打完收功

  2018-12-28

   6

   37
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  张三丰

  1+2+3....+n+n ／ n+1 = n(n+3)/2(n+1) 老师这个公式怎么推导出来的 能一步步展示下吗

  作者回复: 公式是求平均比对多少个数组元素才能找到x。如果x再第一个位置，那需要1次比对，如果再第二个位置，就需要比对2次，一次类推，如果在第n个位置，就需要比对n次。如果不在数组中，也需要比对n次。所有的次数之和除以n+1中情况，就是平均比对元素个数。

  2018-09-29

  

   37
• 

  ppingfann

  课后题的最坏时间复杂度不应该是O(1)吗？按照上一节讲的，循环的次数如果是有限次，就算数量极大，那么也应该是O(1)不是吗？
  如果答案如大家所说的是O(n)，那么原题的len=10这个初始条件就应该改写为len=n。

  作者回复: 因为len并不是个确定量 初始值是10而已

  2018-09-28

   3

   24
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  leo

  画的前两节思维导图：
  https://share.weiyun.com/5D2VFqS

  作者回复: 👍

  2018-09-29

   1

   22
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  极客人哈哈

  第二个例子中，为什么是n+1次遍历？

  2018-09-28

   2

   12
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  蝴蝶

  我算了下，最小是O(1)，最大是O(n)，平均和分摊都是O(1),对吗？😀

  作者回复: 是的 分析正确。不过我们一般情况下平均 均摊说一个就好了

  2018-09-28

   1

   12
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  刘浩

  这道题按照老师所讲的 答案是 O(1)，每次扩容的数量都是原来的2倍，都是经历之前数组长度的次数再次进行扩容，所以完全被均摊开了。
  
  但是老师我有一个问题，就是按照您讲的确实时间复杂度被均摊成了O(1)，在这是一个理论的平均值，但终究不能忽略O(n)的存在，当n到达一定量级的时候，这个风险还是存在的，如果把他等同于O(1)，真的没关系吗？

  作者回复: 你理解的很对啊，均摊只是其中一种复杂度度量方法，并不是说我们只关注均摊，不关注最坏。我们评价一段代码或者算法的时候，还是会综合这几种复杂度的。用什么表示复杂度不重要，初衷还是能更好的体现出这个算法或者代码的性能。

  2018-09-29

  

   11
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  AF

  最大的疑惑就是，insert()方法和add()方法是如何被调用的？？？

  2018-09-28

   1

   11
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  木心

  老师，我是跨行学习Python。希望每次进步一点～早安(^O^)!

  2018-09-28

  

   11
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  冷颜〆

  // array 表示一个长度为 n 的数组
   // 代码中的 array.length 就等于 n
   int[] array = new int[n];
   int count = 0;
   
   void insert(int val) {
      if (count == array.length) {
         int sum = 0;
         for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
            sum = sum + array[i];
         }
         array[0] = sum;
         count = 1;
      }
  
      array[count] = val;
      ++count;
   }
  就这段代码而言 count=0
  怎么看时间复杂度都是O（1）啊 除非外面有循环一直运行 所以这段一直理解不了

  作者回复: 是一直循环调用insert

  2019-02-26

   3

   10