20 | 基于距离的学习：聚类与度量学习
王天一
截至目前，我所介绍的模型都属于监督学习范畴，它们处理具有标签的输入数据，给出意义明确的输出，回归模型输出的是连续的回归值，分类模型输出的是离散的类别标签，这些模型都属于预测模型（predictive model）。
另一类模型则隶属于无监督学习，这类模型学习没有标签的数据，其作用也不是计算类别或回归值，而是要揭示关于数据隐藏结构的一些规律，因此也被称为描述模型（descriptive model）。聚类算法就是最具代表性的描述模型。
聚类分析（cluster analysis）实际上是一种分组方式，它使每一组中的组内对象的相似度都高于组间对象的相似度，分出来的每个组都是一个簇（cluster）。由于相似度是聚类的依据，作为相似度主要度量方式之一的距离就在聚类中发挥着重要作用。
在“人工智能基础课”中，我曾介绍过四种主要的聚类算法，你可以结合下面的要点图回忆一下。除了以概率分布为基础的分布聚类以外，其他三类聚类算法都涉及对距离的使用，而其中最典型的就是 均值所代表的原型聚类算法。
理解 均值算法的基础是理解它对距离的使用方式。前面介绍的 近邻算法其实也用到了距离，近邻的选择就是以距离为依据的。但近邻点是以内收的形式影响未知的数据，所有近邻点按照一定的规则共同决定处于中心的未知数据的类别。如果将这种影响的方式调转方向，让处于中心的样本作为原型（prototype），像一个小太阳一样用万有引力牵引着周围的其他样本，那么其他样本就会像卫星一样被吸附在原型周围，共同构成一个星系，也就是簇。
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paradox老师，您好 我有两个关于马氏距离的问题： 1、Gxi 的维度会比 xi 的原始维度有所降低，故可以用作降维，这里不理解G的含义以及为什么会使维度有所降低 2、马氏距离的好处在于引入了可调节的参数，从而使距离可以通过对数据的学习来加以改善，是不是因为中间的协方差矩阵起了权重的作用，也就是后面所说的G起了权重作用，因此可以用作降维？ 谢谢!作者回复: 马氏距离的原始定义要求度量矩阵Sigma^{-1}是两个元素的协方差矩阵。但在做度量学习时，我们可以人为地生成度量矩阵，在保证距离相似性的同时降低它的秩，让它的秩小于原来的属性数目。 G是对半正定度量矩阵的分解，其作用相当于线性变换。当度量矩阵的秩较小时，线性变换G就可以将数据投影到低维空间，实现降维。
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