人工智能基础课
王天一
工学博士,副教授
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人工智能基础课
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01 数学基础 | 九层之台,起于累土:线性代数

“人工智能基础课”将从数学基础开始。必备的数学知识是理解人工智能不可或缺的要素,今天的种种人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上,而这些数学模型又都离不开线性代数(linear algebra)的理论框架。
事实上,线性代数不仅仅是人工智能的基础,更是现代数学和以现代数学作为主要分析方法的众多学科的基础。从量子力学到图像处理都离不开向量和矩阵的使用。而在向量和矩阵背后,线性代数的核心意义在于提供了⼀种看待世界的抽象视角:万事万物都可以被抽象成某些特征的组合,并在由预置规则定义的框架之下以静态和动态的方式加以观察
线性代数中最基本的概念是集合(set)。在数学上,集合的定义是由某些特定对象汇总而成的集体。集合中的元素通常会具有某些共性,因而可以用这些共性来表示。对于集合 { 苹果,橘子,梨 } 来说, 所有元素的共性是它们都是水果;对于集合 {牛,马,羊} 来说,所有元素的共性是它们都是动物。当然 { 苹果,牛 } 也可以构成一个集合,但这两个元素并没有明显的共性,这样的集合在解决实际问题中的作用也就相当有限。
“苹果”或是“牛”这样的具体概念显然超出了数学的处理范围,因而集合的元素需要进行进一步的抽象——用数字或符号来表示。如此一来,集合的元素既可以是单个的数字或符号,也可以是多个数字或符号以某种方式排列形成的组合。
在线性代数中,由单独的数 a 构成的元素被称为标量(scalar):一个标量 a 可以是整数、实数或复数。如果多个标量 按一定顺序组成一个序列,这样的元素就被称为向量(vector)。显然,向量可以看作标量的扩展。原始的一个数被替代为一组数,从而带来了维度的增加,给定表示索引的下标才能唯一地确定向量中的元素。
每个向量都由若干标量构成,如果将向量的所有标量都替换成相同规格的向量,得到的就是如下的矩阵(matrix):
相对于向量,矩阵同样代表了维度的增加,矩阵中的每个元素需要使用两个索引(而非一个)确定。同理,如果将矩阵中的每个标量元素再替换为向量的话,得到的就是张量(tensor)。直观地理解,张量就是高阶的矩阵。
如果把三阶魔方的每一个小方块看作一个数,它就是个 3×3×3 的张量,3×3 的矩阵则恰是这个魔方的一个面,也就是张量的一个切片。相比于向量和矩阵,张量是更加复杂,直观性也更差的概念。
向量和矩阵不只是理论上的分析工具,也是计算机工作的基础条件。人类能够感知连续变化的大千世界,可计算机只能处理离散取值的二进制信息,因而来自模拟世界的信号必须在定义域和值域上同时进行数字化,才能被计算机存储和处理。从这个角度看,线性代数是用虚拟数字世界表示真实物理世界的工具
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《人工智能基础课》
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  • 听天由己
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    今天最大的启发就是,出来混,迟早要还的。大学时候读了文学方向,考研努力了一年有余,备考了高等数学,可是现在重新捡起来真的很有难度。 科学始终都是要有理论基础的,从纯粹的构想到最终的论证过程,这是一系列的思考与解答。只是,当时却不知道为什么要学习数学,只是模糊地理解原来经济学需要扎实的数学基础,现在看来,科学都是如此。 今天的问题,我只能去搜索答案了,Google Page Rank 就是有矩阵相乘推导算法,其他的就是如今的机器学习以及游戏 3D 建模。看到那么多人都在感慨,不好好学习线性代数,怎么才能理解计算机与这个时代的各种现实问题。看来我得好好补课了。 希望老师提供其他的学习资料与辅助教材,我们才能学得更快、理解更深。

    作者回复: 线代最主要的作用在于将万事万物转化成计算机能够处理的形式化对象,让一些模糊的抽象概念可以被量化。有了它,各种算法才有用武之地。学习资料有一篇专门的文章介绍。

    44
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    请问下老师,除了线性代数,是否还需要微积分的基础呢?如果需要可否指点一下具体是那几个章节的知识点呢,谢谢!

    作者回复: 微积分主要会用到和导数相关的一切知识,尤其是多元函数的求导,最优化用到的是求导和极值/最值方面的知识。这些是基本工具,深入的话还会用到其他数学,那就需要具体情况具体分析了。

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  • 王天一
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    @ junwen.luo 当单频的正弦波输入线性时不变系统时,输出仍然是原始频率的正弦波,改变的只是幅度和相位。所以每个单频信号都是线性时不变系统的特征向量,其幅度和相位的变化就是特征值,这就是傅立叶变换的基础。
    1
    28
  • 王天一
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    @ 夜行观星 非线性空间就要使用非线性代数了。非线性代数就是加法和数乘都不满足通常的定义,要分析就很困难。无甚必要使用这么复杂的模型。
    5
  • 王天一
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    @ 秦龙君-北大 @huahua8893 每个模块结束后,会单独对参考资料做个梳理
    2
  • aibear2018
    解释的太精彩了,高中时候就知道计算,完全不知道这些代表了什么东西,有什么意义,现在看来真是遗憾啊,高中时候要知道这些,是不是会更有学习动力和兴趣呢

    作者回复: 不开玩笑,小学就应该接触。这些数学代表的是思维方式,具体细节可以不用太深入,但思想方法接触得越早越好。

    26
  • Davilk
    王老师,27岁了转行学ai还晚吗?

    作者回复: 不晚,但务必想清楚为什么要学,和学完了能做什么。

    13
  • 超然
    老师,我是基于兴趣来学习的,没上过大学。但是我有做一个基于语音交互的应用梦想,不知道行不行

    作者回复: 为梦想努力永远都不晚

    7
  • 唯一
    老师,我想问是这样吗:矩阵的特征值和特征向量描述的是变化的速度和方向,也就是这个矩阵乘以任意向量,就是让这个向量发生变化,变化速度是特征值,变化方向是特征向量。这样理解对吗?

    作者回复: 矩阵可以看成是个变换,这个变换的方向和尺度是由不同的特征向量和对应的特征值定义的。每个特征向量代表一个方向,对应的特征值代表这个方向上的尺度。所以当矩阵作用在任意向量上的时候,不是让这个向量本身按特征向量的方式去变化,而是相当于要把任意向量拆成特征向量的线性组合,在每个特征向量的方向上分别变化,再把所有的变化组合起来。

    3
    6
  • 清音阁
    老师讲的非常好👍但其中有些举例似乎不够严谨。例如语音是一维向量?好像没这么简单。

    作者回复: 这个话说的可能有些歧义,一维不是指元素的维度,而是自变量的维度,语音只有时间一个维度的自变量。

    6
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