10 | 解析几何：为什么说它是向量从抽象到具象的表达？
朱维刚
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“解析几何”。
前面所有章节我们都是围绕向量、矩阵，以及向量空间来展开的。但这一节课有点不一样，我要讲的是解析几何，它使得向量从抽象走向了具象，让向量具有了几何的含义。比如，计算向量的长度、向量之间的距离和角度，这在机器学习的主成分分析 PCA 中是非常有用的。
范数
讲解析几何我们得从“范数”开始讲起。
因为很多人看到几何向量的第一反应就是，它是从原点开始的有向线段，并且向量的长度是这个有向线段的终端和起始端之间的距离。而范数，就是被用来度量某个向量空间或矩阵中的每个向量的长度或大小的。
现在，我们先来看一下范数的数学定义：一个向量空间 上的一个范数就是一个函数，它计算 中的每一个向量 的长度，用符号来表示的话就是：，它满足三种性质：
正齐次性： 如果输入参数扩大正 倍，其对应的函数也扩正大倍。设 ，，；
次可加性：类似三角不等式，两边之和大于第三边。设 ，；
正定性：向量 的长度一定大于等于零。。
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本文深入介绍了解析几何和内积空间的基本概念和应用。通过范数和内积的概念，向量被赋予了几何含义，范数用来度量向量空间中每个向量的长度或大小，内积则描述了向量的长度、距离和角度。文章详细介绍了$L_{1}$、$L_{2}$和$L_{\infty}$范数，以及内积空间中的欧式距离和角度计算方法。此外，对称正定矩阵的定义和应用也得到了阐述。在实践中，正交投影作为一种重要的线性变换，在图形图像、编码理论、统计和机器学习中扮演了重要角色。文章还介绍了投影到一维子空间上的具体计算步骤和投影矩阵的计算等式。总的来说，本文对读者快速了解解析几何和内积空间的基本概念和应用具有很高的参考价值。
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Dr.z老师 问一下 Φ2=Φ∘Φ=Φ 这里的空心圆 代表了什么操作？作者回复: 你好，Dr.z，这里的空心圆表示的是幂等。
2020-08-201
那时刻请教老师两个问题， 1. 对称正定矩阵在深度学习中，被用来获取最小化损失函数。是因为正定矩阵可逆来求解吗？麻烦老师具体说一下 2. 投影矩阵P和SVM算法里的支持向量到超平面的距离看着蛮相似的，不知道这么理解是否正确？作者回复: 那时刻同学，很好的两个问题。 1. 从深度学习来理解对称正定矩阵，就是所有特征值都是正数的对称矩阵，推荐看下这篇文章详细说了深度学习中的对称正定矩阵，从图形看更明显，因为目前回复不支持富文本，可以看看这篇文章。https://zhuanlan.zhihu.com/p/112772023 2. 是的，没错，只不过是在不同的维度空间来看投影，超平面是在n-1维，第9篇也介绍了一下超平面和它的参数方程。
2020-08-19
宋不肥其实通过内积就可以得到距离和方向，利用这个关系就有了核化法。要是老师能在讲深一点就好了2020-08-27
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