06 | 线性无关：如何理解向量在N维空间的几何意义？
朱维刚
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“线性无关”。
上一节课中，我讲的是线性空间的基本概念，是立足于宏观角度来讲的。那么今天，我们就要深入线性空间，从微观角度，再来看看线性空间中元素之间的关系，也就是线性组合。
线性组合有线性相关和线性无关，而线性无关是线性代数中最重要的概念之一，为什么这么说呢？因为线性相关的向量组中存在多余的向量，去掉它们不影响我们所考虑的问题。而线性无关向量集合是没有任何冗余的，也就是说，失去集合中任意一个向量，我们都会失去一些东西。接下来我们就开始把这个“直观上的理解”固化成实实在在的知识体系。
在正式开始讲解前，我还是一样，先通过一个例子，让你对线性组合有个大致的了解。
假设，有一家物流运输公司 ， 主要靠车辆的货物运输来赚钱，而且 拥有很多直营的运输车辆，设共有 辆车，，那么， 公司的收入可以表示成：。
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本文深入介绍了线性代数中关于向量在N维空间的几何意义的概念，以及线性相关和线性无关的重要性。通过生动的例子和详细的定义，帮助读者深入理解了线性组合、线性相关和线性无关的概念。文章还介绍了判断向量线性无关的方法，包括理论方法和实践方法，最后通过高斯消元法对具体向量进行了线性无关性的判断。此外，文章还探讨了线性组合在机器学习中的应用，特别是线性回归的实践例子。通过这些内容，读者可以快速了解线性代数中的重要概念和其在实际应用中的价值。文章以简洁清晰的语言，深入浅出地介绍了线性代数的相关知识，对读者进行了技术上的引导和启发。
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思致精研_益达老师，我有个疑问。 老师我留言评论上面提到的 [1 0 0 -3 0 1 0 5/8 0 0 1 -1/5 0 0 0 0] 上面的矩阵我是从下面这个矩阵进一步计算的，计算结束的标准是不是："每一行的第一个数出现是1"，就可以不用进行下一步计算了呢(所以说，我计算到下面这个公式就可以得出结果，就不用继续往下计算了对吗【大学学的线代有些有点忘了】)。 [1 0 0 -3 0 1 3 1 0 0 1 -1/5 0 0 0 0]作者回复: 是的，只要能够识别出主元列就行。
2020-08-291- 思致精研_益达[1 0 0 -3 0 1 0 5/8 0 0 1 -1/5 0 0 0 0] 在练习场经过计算的结果，老师看下我算出来的最终结果对吗
作者回复: 你好，思致精研_益达 最后一列有些出入，我的是-5/3，0，-1/3，0，且最后一列不是主元列，所以它们线性相关。
2020-08-252 
王震而如果“有”平凡解存在，例如：λ_{1}= \ldots=λ_{k}=0，则向量 ｛x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}｝ 是线性无关的。 这里应该是说 “仅有”平凡解存在，则是线性无关的吧？作者回复: 你好，王震，是的，因为这只有在lambda都是零的情况下。
2020-08-16
三件事练习场 ｛x1, x2, x3, x4} 线性相关 最后一列不是主元列作者回复: 答案正确 :-) 继续加油！
2020-08-10
那时刻请问老师，线性回归假设目标值与特征之间线性相关，这句话可以从公式推导的方式证明么？ 我粗略想了下，貌似可以用老师提到的这个来着解释：已知在一个向量空间 V 中，有 k 个向量 ｛x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}｝ 和 m 个线性组合，如果 m>k，那么我们可以说，这 k 个向量 ｛x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}｝ 的 m 个线性组合是线性相关的。 我直接copy的原文，格式有偏差了...作者回复: 可以的，从损失函数的角度来解释，一切都是为了找到 y=wx+b的w和b服务。特征和目标之间的线性关系，体现到向量空间中，就是构建最合适的线性组合，找到使损失函数最小的参数w和b。
2020-08-10
南边
最后线性回归的例子没举好2022-11-11归属地：广东1
田埂y=w^x+b 定义是一个超平面， 机器学习的目标是使得这个超平面离各个数据点的平均欧氏距离/距离平方根最短。问题是这个和线性相关有关系吗？ 我暂时无法理解，线性相关一般用于相关性分析中。例如客流量与收入，相关度越高，客流量这个特征就重要。 【老师能解析下回归与相关的关系吗？】2021-05-14
果然爸爸[1 1 -2 -1 0 4 -1 -1 0 0 6 6 0 0 -2 -2] 初等变换两次 看到这个结果，最后两行，看得出是线性相关的2020-12-01
A君不明白线性相关/无关跟线性回归有什么关系，能再解释下么。另外，线性无关和线性相关数学计算上我明白，但它们又表示什么呢？线性相关表示还有多余变量要丢掉，线性无关表示两个矩阵或向量已经正交了？2020-09-291
流殇忘情首先通过矩阵的初等行变换把第一列的2，3，4行化成0，然后直接按照第一列展开直接计算行列式的值为0，由线性相关和行列式等于0等价得出结果是线性相关。2020-08-31
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