08 | 线性映射：如何从坐标系角度理解两个向量空间之间的函数？
朱维刚
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“线性映射”。
前面我们学的内容都是局限在一个线性空间，或者说一个向量空间中，但今天不一样哦，我们要来看看两个向量空间之间的关系，也就是线性映射。
之前我说过，向量也是对象，是能够相加，能够被标量乘的对象，而且这样计算的结果还是向量。而加和标量乘这样的运算同样适用线性映射。比如：两个实数向量空间 和 ，有一个函数 来完成向量空间 到 的映射，如果我们想要同时保持向量空间结构不变，那么 就要满足：
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本文深入介绍了线性映射的概念和特点，包括单射、满射和同构等概念，以及变换矩阵的表示。文章通过具体例子和图形展示了线性变换的过程和变换矩阵的应用。此外，还讨论了基的改变对线性映射的影响，并通过实例展示了基变化后的线性映射的变换矩阵的获取方法。另外，文章还介绍了核空间和像空间的重要性，以及秩-零化度定理。总之，本文全面介绍了线性映射的基本原理和在现实图形图像处理中的应用，对读者快速了解线性映射的概念和技术特点具有重要参考价值。
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黑山老妖同构（ Isomorphism）： 即函数 ϕ 使 V 到 W 是线性且双射的； 自同构（Automorphism）：即函数 ϕ 使 V 到 V 是线性且双射的； 这两个定义一样呀。作者回复: 不一样哦，自同构是V到V。
2021-07-261
灰太狼变换矩阵的定义是：我们有向量空间 V 和 W，它们各自有相应的有序基 B=(b_{1},\cdots,b_{n}) 和 C=(c_{1},\cdots,c_{n}) ，而 \phi 就是 V 到 W 的线性映射：\phi\left(b_{j}\right)=\alpha_{1 j} c_{1}+\cdots+\alpha_{m j} c_{m}。 ______________________ 老师您好，请问B和C都是n维，这个地方最后那个m是怎么出来的，没太理解作者回复: 你好，灰太狼，这里有个错误，我已经联系编辑修改了，应该是Cm，不是n，谢谢你找到这个问题。
2020-10-22
三件事“基于它们各自的标准基 B 和 C，它的变换矩阵是：” 老师这个变换矩阵是怎么求出来的，没太明白。作者回复: 你好，三件事，这里的变换矩阵不是求出来的，是上面的变换矩阵的例子假设的线性映射函数组成的。
2020-08-19
那时刻请教老师两个问题， 1. 在基改变情况下，通过变换矩阵做线性映射。Aϕ的公式Aϕ=T−1AϕS，看着和SVD分解有相似之处，它们之间是否有联系呢？ 2. 在像空间的图形里，像空间im(ϕ)包含了零空间么？如果是的话，那么秩 - 零化度定理说的是V 的维数等于核空间维数与像空间维数之和，这似乎与包含关系相违背。作者回复: 你好，那时刻，很好的问题。 1. 这个要从哪个角度去看了，如果通过SVD来求旋转矩阵，那么文中说的变换矩阵和SVD就有关系。 2. 像空间包含零空间，不管是核还是像，其实都是函数映射，所以我们不能从包含的关系去理解。
2020-08-14
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