09 | 仿射空间：如何在图形的平移操作中大显身手？
朱维刚
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“仿射空间”。
一听到仿射空间，你也许会觉得很奇怪，之前我们说过了线性空间，现在怎么又来一个空间？特别是“仿射”这个词，它有什么含义？它和线性空间的区别和联系又是什么呢？这我们就要从线性空间开始说起了。
我们知道，线性空间中有向量和标量两个对象，而仿射空间与线性空间的区别就在于它又加了一个对象，那就是“点”，而且它们的运算规则也不相同。比如，在仿射空间中，点和标量之间没有定义运算；向量和点之间有加法，运算结果是点；点和点之间有减法，运算结果是向量。
所以，仿射空间可以说是点和向量的空间，而且可以被看成是一个没有原点的线性空间。那你有没有想过，我们为什么要研究仿射空间呢？
那是因为仿射空间在计算机图形处理中有着极其重要的地位。在线性空间中，我们可以用矩阵乘向量的方法表示各种线性变换。但是，有一种常用的变换却不能用线性变换的方式表示，那就是平移，一个图形的平移是非线性的。为了表示平移，以及方便现实世界的描述，就需要使用仿射空间。
仿射子空间
和向量子空间一样，我们现在需要把注意力转移到更有实践意义的仿射子空间上。仿射子空间在计算机科学中的运用主要体现在计算机图形处理中，比如：图形的平移、缩放和旋转等等。
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本文介绍了仿射空间在图形处理中的重要性，以及仿射变换矩阵在平移、缩放和旋转操作中的应用。文章详细介绍了平移、缩放和旋转仿射变换矩阵的定义和特点，并强调了在3D图形实践中，这些操作可以叠加进行。此外，文章还推荐了数学库TSM和Python库OpenCV，并提出了一个练习，要求读者使用OpenCV对一张JPG图片进行简单的仿射变换。总的来说，本文通过介绍仿射空间和仿射映射，以及提出实际练习，为读者深入了解仿射空间的技术特点提供了全面的指导。
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Leoorz老师你好，缩放矩阵章节，第三列的向量，为什么不是{0, 0, z, 0} ？作者回复: 你好，HardToGiveaName 变换矩阵的第三列可以是{0, 0, z, 0}。
2020-09-281
qinsi感觉内容有些跳跃…三维空间用的仿射变换矩阵是4x4的，但三维空间的点坐标用向量表示是3x1的，变换的时候要使用齐次坐标的4x1的向量才可以跟矩阵乘起来。如果是二维平面的话变换矩阵就是3x3，平面上点的齐次坐标是3x1。而OpenCV里warpAffine接受的变换矩阵大小是2x3作者回复: 你好，qinsi，在应用篇，也就是第12篇的如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上，我会有比较详细的说明，OpenCV的warpAffine接受的变换矩阵可以是这样：M = np.float32([[1,0,50],[0,1250]]) 它内部会做转换。
2020-08-171
howhigh老师您好，课程最后部分的仿射变换举例，先平移，再缩放，再绕x轴旋转，这个矩阵连乘是不是应该从右向左运算？是不是先平移的放在最右边？作者回复: howhigh 你好， 还是需要一一对应的。
2021-11-14- Geek_ae1025请问老师，这里您说的“仿射映射是保持了原几何结构和维度不变的”，这里的几何结构不变具体指的是什么？如何度量的？这一点不太明白~
作者回复: 因为仿射映射实际就是做了一次线性变换后，又进行了一次平移操作。
2021-05-15 
！null支撑点x0是向量空间v的元素，那支撑点x0也是向量吗？作者回复: 是的
2021-03-17
那时刻请问老师，仿射变换矩阵右下角的数字表示的则是整体缩放，现在它是 1，也就意味着不进行整体缩放。为什么这个右下角的1，是对于整体缩放呢？ 是因为它可以认为是仿射子空间的支撑点吗？作者回复: 你好，那时刻，它和支撑点没有关系，是因为三维空间的变换依赖于4x4矩阵，这个和齐次坐标有关，它将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示，也是几何投影坐标，具体可以继续关注应用篇的如何通过矩阵转换让3D图形显示到二维屏幕上。
2020-08-172
LEErows, cols = img.shape[0:2] translation = np.float32([[1, 0, 50], [0, 1, 20]]) dst = cv2.warpAffine(img, translation, (rows, cols))2021-01-02
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