重学线性代数
朱维刚
前阿里云资深技术专家,毕埃慕(BIM)首席战略官、副总裁
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开篇词 (1讲)
开篇词 | 从今天起,学会线性代数
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基础篇 (10讲)
01 | 导读:如何在机器学习中运用线性代数工具?
02 | 基本概念:线性代数研究的到底是什么问题?
03 | 矩阵:为什么说矩阵是线性方程组的另一种表达?
04 | 解线性方程组:为什么用矩阵求解的效率这么高?
05 | 线性空间:如何通过向量的结构化空间在机器学习中做降维处理?
06 | 线性无关:如何理解向量在N维空间的几何意义?
07 | 基和秩:为什么说它表达了向量空间中“有用”的向量个数?
08 | 线性映射:如何从坐标系角度理解两个向量空间之间的函数?
09 | 仿射空间:如何在图形的平移操作中大显身手?
10 | 解析几何:为什么说它是向量从抽象到具象的表达?
重学线性代数
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07 | 基和秩:为什么说它表达了向量空间中“有用”的向量个数?

朱维刚 2020-08-12
你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数,今天我们要讲的内容是“基和秩”。
了解向量空间和线性组合后,我们必然会推进到的学习,为什么这么说呢?因为秩表达了向量空间中“有用”的向量个数。
这里“有用”两个字就限定了范围,也就是说,在一个向量空间 中,我们是只对某些特殊的向量集合 感兴趣的。对于 来说,任意属于向量空间 的向量,都能够被 中的一个向量的线性组合来表示。这里“感兴趣的向量集合”就和秩的应用场景有关了,我们来举几个秩的应用场景:
秩可以帮助我们研究向量组的线性相关问题,从图形图像应用角度来说,就是处理冗余数据的表达,可以被用来恢复数据,或者降噪;
我们可以通过秩来快速判断线性方程组解的情况,有时快速判断线性方程组有解、无解、无穷解几种情况,比“解”本身更重要,因为它能初步得出线性方程组的大致轮廓,让你不用纠结于纯粹的求解;
在解析几何方面,秩可以判断两条直线的位置关系,用在图形的形状和夹角判断上;
秩还可以把解决线性空间的维数问题,简化成分析向量个数问题,化繁为简。
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精选留言(1)

  • 那时刻
    请教老师几个问题:

    1. 在解析几何方面,秩可以判断两条直线的位置关系,用在图形的形状和夹角判断上。能具体举个例子说明下么?
    2. 向量基的线性组合是否可能生成另外一个向量基呢?
    3. 对于 一个向量空间的维度和它的基向量数是一致的,而它的维度不是一定和向量元素的数量相等的。这一点不是很理解?文章中例子:向量空间是一维的,但它的基向量有两个元素。对于a = [0, 0, 1],a的转置后的向量能看做是基向量吗?(我不知如何在文稿里更好的表示单列矩阵,委婉表示下,希望能表达清楚)
    4. m∗n 矩阵 A 的列组成子空间 U⊆Rm 的生成空间,而且 U 的维度等于矩阵 A 的秩,那么,U 的一个基可以通过 A 的高斯消元法得到的主元列来获取。这句话可以理解为矩阵的列秩吗?

    作者回复: 很好的问题。
    1. 秩主要用在两条直线重合、平行、相交、异面的判断上,所以它只是有助于快速判断,而不是精确定义。
    2. 根据定义,每个线性无关的生成集合都是基,它们也是最小生成集合,如果它们还能通过线性组合来生成另外的基,这个定义就不成立了。
    3. 我不知道问题的理解对不对,一般我们通过基向量数可以判断维度,特别是在稀疏矩阵中,我们要看有效数据,在低秩矩阵中也是一样的。转置后的向量可以看作是基向量。
    4. 是的,可以这么认为。

    2020-08-12
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