重学线性代数
朱维刚
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重学线性代数
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07 | 基和秩:为什么说它表达了向量空间中“有用”的向量个数?

你好,我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数,今天我们要讲的内容是“基和秩”。
了解向量空间和线性组合后,我们必然会推进到的学习,为什么这么说呢?因为秩表达了向量空间中“有用”的向量个数。
这里“有用”两个字就限定了范围,也就是说,在一个向量空间 中,我们是只对某些特殊的向量集合 感兴趣的。对于 来说,任意属于向量空间 的向量,都能够被 中的一个向量的线性组合来表示。这里“感兴趣的向量集合”就和秩的应用场景有关了,我们来举几个秩的应用场景:
秩可以帮助我们研究向量组的线性相关问题,从图形图像应用角度来说,就是处理冗余数据的表达,可以被用来恢复数据,或者降噪;
我们可以通过秩来快速判断线性方程组解的情况,有时快速判断线性方程组有解、无解、无穷解几种情况,比“解”本身更重要,因为它能初步得出线性方程组的大致轮廓,让你不用纠结于纯粹的求解;
在解析几何方面,秩可以判断两条直线的位置关系,用在图形的形状和夹角判断上;
秩还可以把解决线性空间的维数问题,简化成分析向量个数问题,化繁为简。
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本文介绍了线性代数中的基和秩的概念及其在实际应用中的重要性。基是向量空间的最小生成集合,掌握了线性映射作用在向量空间的一组基上的效果,就等于掌握了线性映射对向量空间中任意元素的效果。而秩则可以用来求解方程组的通解个数,判断向量组中的线性无关向量个数,判定非齐次方程组有无解,以及判断矩阵的行列式的值是否为零等重要问题。此外,文章还介绍了秩在图像恢复和降噪中的应用,特别是与低秩矩阵结合的降维算法在图像处理中的重要性。通过实例分析,读者可以更好地理解基和秩的概念及其应用。总之,掌握基和秩对于理解线性代数的理论和实践具有重要意义,为后续学习打下坚实基础。

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《重学线性代数》
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    请教老师几个问题: 1. 在解析几何方面,秩可以判断两条直线的位置关系,用在图形的形状和夹角判断上。能具体举个例子说明下么? 2. 向量基的线性组合是否可能生成另外一个向量基呢? 3. 对于 一个向量空间的维度和它的基向量数是一致的,而它的维度不是一定和向量元素的数量相等的。这一点不是很理解?文章中例子:向量空间是一维的,但它的基向量有两个元素。对于a = [0, 0, 1],a的转置后的向量能看做是基向量吗?(我不知如何在文稿里更好的表示单列矩阵,委婉表示下,希望能表达清楚) 4. m∗n 矩阵 A 的列组成子空间 U⊆Rm 的生成空间,而且 U 的维度等于矩阵 A 的秩,那么,U 的一个基可以通过 A 的高斯消元法得到的主元列来获取。这句话可以理解为矩阵的列秩吗?

    作者回复: 很好的问题。 1. 秩主要用在两条直线重合、平行、相交、异面的判断上,所以它只是有助于快速判断,而不是精确定义。 2. 根据定义,每个线性无关的生成集合都是基,它们也是最小生成集合,如果它们还能通过线性组合来生成另外的基,这个定义就不成立了。 3. 我不知道问题的理解对不对,一般我们通过基向量数可以判断维度,特别是在稀疏矩阵中,我们要看有效数据,在低秩矩阵中也是一样的。转置后的向量可以看作是基向量。 4. 是的,可以这么认为。

    2020-08-12
    2
  • 人工智能新手
    老师,文中的例子U是一个5维向量子空间,U的基可以由线性无关的5维向量x1,x2,x3,x4组成,但是4个向量能组成一个基吗?按照基的定义,基可以线性组合生成U空间中的任何向量,但这4个向量不可能吧,应该是5个向量吧?

    作者回复: 这里从U的生成集合角度,来判断这四个向量x1,x2,x3,x4中哪些是U的基。

    2020-11-04
  • 流殇忘情
    1. 调整行的位置为4312 2. 从第2行开始把第1列的数字变为0,发现前两列恰好都变为0了 3. 从第3行开始把第3列的数字变为0,观察此时最后1行元素成比例,可以先化简在变0 4. 观察发现此时第3和4行元素成比例,最后一行直接变为0 由于非0行为3,因此秩为3

    作者回复: 厉害,直接通过文字叙述表达出来了。

    2020-08-31
  • 孙瑜
    最近一直都在做二次型的题 哈 回来学专栏不一定的感受
    2020-10-19
  • 思致精研_益达
    计算结果: [1 -2 1 -1 1 0 0 1 2 -3 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 0] 矩阵的秩:rk=3 如果哪里有错,还望老师指点
    2020-08-25
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