手动实现C++版下界二分查找
int bs_lower_bound(const vector<int>& vec, int target) {
    int start = 0;
    int end = vec.size();

    while (start < end) {
        int mid = start + ((end - start) >> 2);
        if (vec[mid] < target)
            start = mid + 1;
        else
            end = mid;
    }

    return start;
}

PHP 的两种解法：
/**
     * dp 动态规划的写法
     */
    function lengthOfLIS($nums)
    {
        $length = count($nums);
        if (empty($nums) || $length == 0) return 0;
        $res = 1;
        // 先定义好固定大小的数组 PHP 也可以先固定好。防止越界报错
        for ($k = 0; $k < $length; ++$k) $dp[$k] = 1;
        for ($i = 1; $i < $length; ++$i) {
            for ($j = 0; $j < $i; ++$j) {
                // 只要 $j 小于 $i $i就可以利用之前组建好的结果进行上升
                if ($nums[$j] < $nums[$i]) {
                    $dp[$i] = max($dp[$i], $dp[$j] + 1);
                }
            }
            $res = max($res, $dp[$i]);
        }
        return $res;
    }

    /**
     * 二分查找
     */
    function lengthOfLIS1($nums)
    {
        if (empty($nums)) return 0;
        $res = 0;
        $tails = [];
        foreach ($nums as $num) {
            $i = 0;
            $j = $res;
            // 二分查找
            while ($i < $j) {
                $m = intval(($i + $j) / 2);
                if ($tails[$m] < $num) {
                    $i = $m + 1;
                } else {
                    $j = $m;
                }
            }
            $tails[$i] = $num;
            if ($res == $j) $res++;
        }
        return $res;
    }

讲一下老师最后[11,12,13,14,1,2,3,4,5] 这个例子。
假设这个数组到3为止，[11,12,13,14,1,2,3], 没有4，5，那么二分算法结果就是[1,2,3,14]。我想这大概就是最令人费解的地方，正常的逻辑都会想：不对啊，答案不应该是[11,12,13,14]吗？我看了很多地方的解答也没有解释这里。

我的理解是：
这里虽然结果是[1,2,3,14]，但是真实路径其实还是[11,12,13,14]！！！
1,2,3的替换是为了希望之后能找到更优的解，但是如果没有4，5那1，2，3就没有任何意义，显示的是[1,2,3,14]，真实路径还是[11,12,13,14]！！！
如果，有了4，5，那就是赋予了1，2，3意义。最后表现结果和真实路径会变成[1,2,3,4,5]。
我理解这个算法：一直保留着局部最优解，又尝试不断跳出局部最优解，如果跳出去了，那全局最优解就是最后的局部最优解。如果没跳出去，那全局最优解就是当初的那个局部最优解，当初那个路径数组的长度。

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not nums: return 0

        dp = [1 for _ in range(len(nums))]
        for i in range(len(nums)):
            maxx = 0
            for j in range(i):
                if nums[j] < nums[i] and dp[j] >= maxx:
                    maxx = dp[j]
                dp[i] = maxx + 1
            
        return max(dp)