今天的小试牛刀完全是中学数学啊…… 1. 用Δy/Δx计算斜率，平行是斜率相等，垂直是斜率乘积为-1。所以： 平行：Δy1/Δx1=Δy2/Δx2 垂直：(Δy1/Δx1)(Δy2/Δx2)=-1 为了避免出现分母为零（即平行于y轴，斜率无穷大）的情况，可以把除法换成乘法： 平行：Δx1Δy2-Δx2Δy1=0 垂直：Δx1Δx2+Δy1Δy2=0 不过要考虑一个边缘情况，如果两个线段有一个长度为零了（退化成点），就没法判断了。 2. 设线段为AB，其中A(x0,y0),B(x1,y1)，点P(x2,y2) 正常思路是直接套用点到直线距离公式 d=|Ax0+By0+C|/Math.hypot(A,B)，其中A、B、C为直线方程Ax+By+C=0里的系数，(x0,y0)为点的坐标。 用两点式写出直线方程，(y-y0)/(x-x0)=(y1-y0)/(x1-x0) 换成Ax+By+C=0的形式并排除分母为0的情况：(y1-y0)x+(x0-x1)y-(y1-y0)x0-(x0-x1)y0=0 观察系数得A=y1-y0，B=x0-x1，c=-(y1-y0)x0-(x0-x1)y0=-Ax0-By0 把A、B、C及(x2,y2)代入即可。 不过这里有个坑，给的不是直线，而是线段，线段是不能无限延长的，所以过点到直线作垂线与直线的交点不一定在线段上。 如果遇到这种情况，即角A或角B是钝角，就只能取PA和PB的较小值。 判断是否为钝角，可以用邻边平方和减去对边平方，结果为负数说明是钝角（正数是锐角，零是直角——刚好就是勾股定理了）。 另外，还有一个边缘情况，就是线段的两个点重合，与第一题不同，这时候的距离还是可以算的（此时PA=PB）。 3. 模仿文中思路用反正切函数Math.atan2()取到范围是[-PI, PI]的角度值，然后与扫描范围比较即可。 这里我把扫描范围扩展为任意实数的角度，并允许扫描到原点（如果角度为负则只能扫描到原点）。 然后对扫描范围的一半θ进行分类讨论： 超过π，说明360°全方位覆盖，肯定扫描得到； 没到π/2，扫描范围在[-π,0]之中，直接和反正切值比较即可； 其余情况，扫描范围起点在第四象限，终点在第三象限，被扫描的点如果在三四象限要大于起点或小于终点，如果在一二象限肯定能扫描到（也肯定大于起点）。 综上，因为数字比较多，这次代码用TS完成，同时顺便体验了一下Vue 3的Composition API： https://codepen.io/gltjk/pen/OJMOOJR

仿佛回到了中学的解析几何题，感谢老师讲解向量的两个含义，但我对向量有些自己的理解，正好有肋于解决老师今天的思考题，下面说说我的思路： 1.1：若对此题做一个等效替代的话，其实不必拘泥于线段，可以延伸到线段所在的直线，这两条直线是否平行或垂直与原来的两条线段的关系是一致的 1.2：直线的关系可以理解为方向上的关系，既然向量可以表示方向，那么此题就可以进一步用向量来替代原来的线段，例如用v1替代线段l1,值为（x11-x10,y11-y10)。 *1.2.1：若不理解的话，就当是把原来的两条直线平移至经过坐标原点吧，因为平移不影响直线平等或垂直的关系 1.2.2：为方便书写与查看，设一些别名吧：v1=(X1,Y1),其中X1=x11-x10,Y1=y11-y10；v2=(X2,Y2),其中X2=x21-x20,Y2=y21-y20 1.3：向量垂直的条件是点积为0，所以这里判断垂直的条件是X1*X2 + Y1*Y2 == 0 1.4：平行的条件我想说得简单点，退回到直线就是它们与x轴的夹角相等，也就是斜率相等，所以条件是X1*Y2 == X2*Y1 2.1：与第1题一样的替代，距离等于该点到线段所在直线的距离，那关键就是在直线上找一个点，这个点与指定点的连成的直线与原来的直线垂直，最后要求的距离就是这两个点的距离了 2.2：同样，用向量替代题中的线段就是:v1=(X1，Y1)，其中X1=x1-x0,Y1=y1-y0,然后凑一个与此向量垂直的向量v2出来，简单做法就是v2=(-Y1,X1), 代入点积公式必得0 2.2.1：当然v2也可以是（Y1,-X1),这里不妨用前一个，效果是一样的 *2.3：本题我对向量的理解是：从某点到另一点的增量，即二维的delta。借此就可以算出与题中线段垂直的直线上的另一个点,就是把前面算出的垂直向量加给点(x2,y2)，就得到了(x2-Y1,y2+X1)，即(x2-y1+y0,y2+x1-x0) 2.4：两点决定一直线，基于这两个点，我们就可以算出那条垂直直线的方程了，再加上题中线段的直线方程，那么这个关键点就是这两条直线的交点，问题转化为解二元一次方程组了。 2.5：最后距离就等于这个交点到（x2,y2)的距离 3.1：此题我的说法不太严谨，先这么简化：把扫描器的两条边看成两个向量v1=(X1,Y1)，假定是左边那条；v2=(X2,Y2)，假定是右边那条。从坐标原点到目标点看作向量v0(X0,Y0)。 3.2：那么目标点落在扫描器范围内的条件就是：v0在v1右边，同时也在v2的左边。（对于左边右边的说法我就先不给出严谨的说明了，不知道有没有专业术语） *3.3：重合的向量可以弱化理解为平行的向量，基于第一题的结论，假如v0与v1重合，就会有X0*Y1 == X1*Y0，即X0*Y1-X1*Y0 == 0， *3.3.1：那要是X0*Y1-X1*Y0的值不等于0呢？，那情况就是v0在v1的左边或右边了。 3.3.2：X0*Y1-X1*Y0这个式子是带方向性的，姑且定义为从v0旋转到v1,值有正负（反之X1*Y0-X0*Y1就是从v1旋转到v0） 3.4：那么把3.2的说法进一步数字化就是从v0旋转到v1与从v0旋转到v2互为相反数。（其实其中一个为0也行，表于目标点落在了边界上） 3.5：最后得出的公式化条件就是：(X0*Y1-X1*Y0) * (X0*Y2-X2*Y0) <= 0